SymPy 是一个由 Python 语言编写的符号计算库。我将在本文中简要地介绍如何利用 SymPy 进行符号计算。在介绍 SymPy 之前，我们首先要明确何谓符号计算？计算机代数系统又是什么？

处理数学对象的计算称为符号计算。在符号计算中，数学对象是精确表示的，而不是近似的，未计算的数学表达式会以符号形式保留。与符号计算相对应的是数值计算，下面将以两个例子来展示二者之间的区别。

下面是一个计算 数值解的例子：

下面是一个计算 解析解的例子：

对比 的数值和符号计算结果可以发现，数值计算结果无法精确地表示出 ，只能用一个很小的浮点数 表示，而符号计算结果则得出 。明确了数值计算和符号计算之间的区别后，让我们再来认识什么是计算机代数系统。

计算机代数系统（Computer Algebra System，缩写作：CAS）是进行符号运算的软件。在计算机代数系统中运算的对象是数学表达式，通常表达式有如下几类：

以下列出了几种典型的符号计算：

通常符号计算软件也具备一定的数值运算能力，例如可以进行如下运算：

此外符号计算软件也具有描绘二维、三维函数图像的功能。实际上，目前存在众多的计算机代数系统，下面列出了几种：

注意：为了防止命名空间冲突，PEP 标准推荐使用第一种方式导入库。但是，通常一个符号运算 Python 源文件是单独使用的，稍加注意就可以避免命名空间冲突的问题。

在使用符号之前，先要利用 symbols 函数定义符号，语句是：

还有一个更简洁的方法是，利用 SymPy 的 abc 子模块导入所有拉丁、希腊字母：

注意：希腊字母 > (lambda) 是 Python 保留关键字，当用户需要使用这个字母时，请写成 > lamda(不写中间的 ‘b’)。 新建符号变量时可以指定其定义域，比如指定 :

这样在求解过程中 必须满足这个前提条件。可以利用 symbols 函数依次新建类似 的多个变量：

下面是一个符号计算的完整例子：

在本节中，我将介绍几个符号计算的基本操作。

采用符号变量的 subs 方法进行替换操作，例如：

利用 sympify 函数可以将字符串表达式转换为 SymPy 表达式。 注意：> sympify 是符号化，与另一个函数 > simplify （化简）拼写相近，不要混淆。

可以使用符号变量的 evalf 方法将其转换为指定精度的数值解，例如：

如果进行简单的计算，使用 subs 和 evalf 是可行的，但要获得更高的精度，则需要使用更加有效的方法。例如，要保留小数点后 1000 位，则使用 SymPy 的速度会很慢。这时，您就需要使用 NumPy 库。lambdify 函数的功能就是可以将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可以使用的函数，然后用户可以利用 NumPy 计算获得更高的精度。

在符号计算中，最常用的操作就是利用 simplify 函数对表达式化简。默认情况下，simplify 函数将自行寻找它认为的最简单的表达形式，呈现给用户。

由于 simplify 函数执行过程是启发式的，它需要寻找它认为的最简形式，所以有时它的响应会比较慢。所以，当您知道化简形式是什么类型时，不要使用 simplify 函数，而应该使用专门的函数，如 factor（后续将会介绍）。

下面介绍几个用于多项式或有理函数化简的函数。

将多项式展开，使用 expand 函数。例如：

用 factor 函数可以对多项式进行因式分解，例如：

实际上，多项式的展开和因式分解是互逆过程，因此 > factor 和 > expand 也是相对的。

利用 collect 合并同类项，例如：

消去分子分母的公因式使用 cancel 函数，例如：

使用 apart 函数可以将分式展开，例如：

在本节中，将介绍使用 SymPy 进行微积分的基本操作。

求导函数使用 diff 函数，例如：

我们也可以用 符号变量的 diff 方法 求微分，例如：

可以用 diff 函数求多元函数的偏导数，例如：

使用 integrate 函数求积分，例如：

求 的定积分： 注意：在 SymPy 中，我们用 ‘oo’ 表示 > 。

求函数 在 的二重积分：

使用 limit 函数求极限，例如：

当 时，求 的极限：

使用符号变量的 series 方法可以对函数 在 处进行 阶展开。例如，对函数 在 处进行 阶展开：

使用 solveset 求解方程。

求解方程 ，首先要构造方程，使用 Eq 函数构造等式：

注意：在 SymPy 中，我们用 > Eq(左边表达式, 右边表达式) 表示左边表达式与右边表达式相等。

比如我们来求解人教版九年级一元二次方程组比较经典的一个题目，

执行之后得出的结果为[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我们知道根与系数的关系二次方程会有两个解，这里的格式就是一个列表。转为我们常见的数学公式即为：

我们来看如何求解二元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是 。

我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）执行之后，很快可以得出结果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是**

使用 dsolve 函数求解微分方程。首先需要建立符号函数变量：

然后求解微分方程：

我们在进行矩阵运算之前，需要用 Matrix 构造矩阵，例如：

矩阵转置用矩阵变量的 > T 方法。

矩阵转置用矩阵变量的 T 方法。例如：

求矩阵 的 次幂：

特殊地，矩阵的 次幂就是矩阵的逆。

用矩阵变量的 det 方法可以求其行列式：

用矩阵变量的 eigenvals 和 charpoly 方法求其特征值和特征多项式。

可以利用 laplace_transform 函数进行 Laplace 变换，例如：

利用 inverse_laplace_transform 函数进行逆 Laplace 变换：

使用 plot 函数绘制二维函数图像，例如：

导入 SymPy 的 plot_implicit 函数绘制隐函数图像：

注意：上图中 > 轴不是 > ，导致图像显示不是圆。 使用 SymPy 画出三维函数图像，例如：

使用 latex 函数可以输出运算结果的 代码，例如：

至此，本文就将 SymPy 符号计算库的基本功能和使用技巧介绍完毕，从前面的内容可以总结出如下 2 点结论：

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以上教材都要求你使用MATLAB，不过这里建议替换成Python。